Matriks merupakan kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi dengan bentuk persegi panjang, sesuai baris dan kolom. Ordo matriks menunjukkan banyaknya baris dan kolom dalam matriks. Transpose matriks adalah bentuk operasi matriks di mana susunan baris diubah jadi kolom dan kolom diubah jadi baris. Matriks sama adalah matriks yang punya ordo-ordo yang sama dan tiap elemennya terletak pada baris dan kolom yang sama.
Playlist di youtube (VLOG) :
1. https://youtu.be/qEWyLiE4g-8 (Matriks)
2. https://youtu.be/TNeaYMyv0lc (Determinan Baris dan Kolom)
3. https://youtu.be/pV7pzSIGFrw (Determinan Metode CHIO)
4. https://youtu.be/fr53VpBf2Ho (Determinan Metode Crout dan Dolittle)
5. https://youtu.be/174GCj9MHpc (Invers Matriks Metode Adjoin)
6. https://youtu.be/exhQWGZN0Io ( Gauss Jordan)
Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun membentuk persegi panjang berdasarkan baris dan kolom. Notasi matriks dinyatakan dalam huruf kapital. Berikut ini contoh penulisan matriks. Matriks D di atas memiliki sembilan elemen, yaitu a–i.Letak elemen dinyatakan dalam fungsi xp,qdi mana p menunjukkan baris, sedangkan q menunjukkan kolom, contohnya x2,3= f; x3,1=g; dan x2,2= e. Baris merupakan bagian matriks yang mengarah horizontal, sedangkan kolom merupakan bagian matriks yang mengarah vertikal.
Contoh mudah matriks dapat kamu lihat dalam ilustrasi di bawah ini:
Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.
Untuk mengetahui matriks dalam matematika lebih dalam, ada beberapa jenis matriks yang perlu kamu ketahui, Squad. Jenis-jenisnya adalah:
1. Matriks nol : matriks yang semua elemennya adalah nol.
2. Matriks baris : matriks yang hanya memiliki satu baris.
3. Matriks kolom : matriks yang hanya memiliki satu kolom.
4. Matriks persegi : matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
5. Matriks identitas : matriks konstanta dengan elemen diagonal utama adalah 1.
Ordo Matriks
Ordo atau ukuran matriks menunjukkan banyaknya baris dan kolom di dalam matriks. Ordo biasa dinotasikan sebagai ∑ baris x kolom. Perhatikan contoh berikut.
Transpose Matriks
Transpose matriks merupakan bentuk operasi matriks di mana susunan baris diubah menjadi kolom, sedangkan bagian kolom diubah menjadi baris. Baris ke-p diubah menjadi kolom ke-p atau kolom ke-q diubah menjadi baris ke-q. Jika matriks D di atas dijadikan transpose matriks D, notasi yang digunakan adalah DT. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Berdasarkan transpose matriks di atas, kalian bisa melihat bahwa elemen baris ke-1, yaitu 1, 2, 3, dituliskan pada kolom ke-1, elemen baris ke-2, yaitu 4, 5, 6, dituliskan pada kolom ke-2, dan begitu seterusnya. Dengan demikian, transpose matriks bisa mengubah ordo matriks jika jumlah baris dan kolomnya tidak sama.
Matriks Sama
Suatu matriks dikatakan sama jika matriks-matriks tersebut memiliki ordo yang sama dan setiap elemennya terletak pada baris dan kolom yang sama. Jika suatu matriks sama, otomatis setiap elemen yang seletak nilainya sama. Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Diketahui dua matriks sebagai berikut. Tentukan nilai dari a, b,c, dan d! Pembahasan: Untuk mencari nilai a, b,c, dan d, kalian harus tahu bahwa matriks D = E, sehingga elemen seletak nilainya pasti sama. Dari perhitungan di atas, diperoleh nilai a= 1, b = 6, c= 0, dan d= 9. Jadi, nilai a, b,c, dan d berturut-turut adalah 1, 6, 0, dan 9.
Operasi Antarmatriks
Layaknya bilangan, matriks juga bisa dioperasikan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian angka dengan matriks, maupun perkalian antarmatriks.
1. Penjumlahan dan pengurangan matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya bisa dilakukan jika ordonya sama, misalnya matriks 2 × 2 dikurangkan dengan matriks 2 × 2 lainnya. Elemen yang dijumlahkan atau dikurangkan harus seletak, artinya posisi atau letaknya sama. Perhatikan contoh berikut. Berdasarkan contoh di atas, terlihat bahwa penjumlahan atau pengurangan matriks tidak mengakibatkan perubahan ordo.
2. Perkalian angka dengan matriks
Semua matriks bisa dikalikan dengan konstanta atau bilangan berapapun. Jika dikalikan dengan suatu konstanta atau bilangan, semua elemen di dalam matriks tersebut harus dikalikan satu per satu dengan konstanta yang dimaksud. Contohnya sebagai berikut. Berdasarkan hasil di atas, ternyata perkalian antara konstanta dan matriks tidak akan mengubah ordo matriks tersebut.
3. Perkalian antara matriks dan matriks
Jika dibandingkan operasi matriks sebelumnya, perkalian antara matriks dan matriks ini terbilang lebih rumit. Untuk mengalikan antara matriks dan matriks, kalian harus mengalikan seluruh elemen tiap baris ke-pdengan kolom ke-p, lalu hasilnya dijumlahkan pada baris yang sama. Misalnya diketahui perkalian matriks sebagai berikut. Contoh mengoperasikan perkalian antara dua matriks di atas adalah sebagai berikut. Pembahasan: Hal yang harus diingat dari perkalian matriks adalah sifat perkalian matriks tidak berlaku bolak-balik atau AB ≠ BA. Agar kalian semakin paham dengan pembahasan matriks ini, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 2
Pembahasan: Sebelum menyelesaikan soal di atas, kalian jabarkan kembali persamaannya, yaitu sebagai berikut. Selanjutnya, tentukan nilai x dan y berdasarkan nilai elemen seletak. Diperoleh nilai x= 2 dan y= 4. Dengan demikian, x+ 2xy+ y= 2 + 2(2)(4) + 4 = 22. Jadi, nilai x+ 2xy+ y= 22.
Contoh soal 3
Tentukan nilai 2a2+ b– c yang memenuhi persamaan matriks berikut. Pembahasan: Untuk menentukan nilai 2a2+ b– c, kalian harus mengalikan matriks-matriks di sisi kiri terlebih dahulu. Dari persamaan di atas, diperoleh: Baris ke-2, kolom ke-2 Baris ke-1, kolom ke-2 Baris ke-1, kolom ke-1 Dengan demikian, nilai 2a2+ b– c= 2(3)2+ (-3) – 1 = 14. Jadi, nilai 2a2+ b– c= 14.
DETERMINAN MATRIKS
Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan
det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen
bertanda A.Sehingga bentuknya terlihat seperti persegi. Cara menentukan determinan matriks akan berbeda pada tiap ordo.Dengan ukuran 2×2, 2×3, 3×3, 4×4
Determinan Matriks Berordo 2 x 2
Contoh matriks dengan ordo 2 x 2 adalah seperti ini:
Matriks A merupakan matriks dengan ordo 2 × 2 memiliki elemen a dan d yang terletak pada diagonal utama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Nilai determinan A, disimbolkan dengan [A], merupakan suatu bilangan yang diperoleh dengan cara mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.
Rumus yang dapat kamu gunakan adalah:
Det (A) = |A| = ad – bc
Untuk bisa memahami rumus ini dengan lebih baik, mari kita lihat contoh soal berikut ini.
Contoh Soal Determinan Matriks Berordo 2 x 2
Untuk bisa lebih memahami determinan matriks, mari kita perhatikan soal determinan matriks berordo 2 x 2 berikut ini:
1. Tentukan determinan dari matriks berikut ini!
Solusi:
Bila kita perhatikan matriks di atas, kita dapat langsung menghitung nilai determinan dengan rumus yang telah kita ketahui.
Det (A) = |A| = ad – bc
|A| = (5 x 6) – (2 x 4)
|A| = 30 – 8
|A| = 22
2. Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?
Solusi:
Sama dengan soal yang pertama, kita bisa menggunakan rumus untuk bisa menyelesaikannya.
Det (A) = |A| = ad – bc
|A| = (7 x 3) – (2 x 8)
|A| = 21 – 16
|A| = 5
Determinan Matriks Berordo 3 x 3
Matriks berordo 3×3 adalah matriks berbentuk persegi dengan banyak kolom dan baris sama yaitu tiga. Bentuk umum matriks berordo 3×3 sebagai berikut:
Untuk menghitung determinan matriks berordo 3×3, kamu bisa menggunakan aturan Sarrus. Gambar di bawah ini akan menunjukkan caranya dengan lebih jelas.
Sumber Gambar: idschool.net
Untuk bisa memahami cara ini dengan lebih baik, mari kita perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal Determinan Matriks Berordo 3×3
Untuk dapat memahami determinan matriks berordo 3 x 3, ada beberapa soal yang akan bisa menambah pemahaman kamu mengenai hal ini.
1. Tentukan determinan dari matriks di bawah ini!
Solusi:
Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.
Metode Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain
DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.
Cara menghitung determinan (A) dengan ekspansi kofaktor (Ordo 3×3)
Cara menghitung determinan (A) dengan ekspansi kofaktor (Ordo 4×4)
Ekspansi kofaktor baris
Ekspansi kofaktor kolom
DETERMINAN : METODE CHIO
Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks biasanya dinyatakan oleh atau . Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo dengan . Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo menjadi ordo dan dikalikan dengan elemen . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen . Apabila nilai elemen maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh .
Perhatikan untuk matrik dengan ordo . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
Selanjutnya untuk matrik dengan ordo . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.
Contoh 1.
Hitung determinan matriks .
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
Contoh 2.
Hitung determinan matriks .
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
Misal , diperoleh
Jadi,
SIFAT SIFAT DETERMINAN
Sifat-sifat determinan matriks sangat bermanfaat ketika menghitung matriks-matriks dengan karakteristik khusus. Seperti matriks dengan elemen nol, matriks segitiga atas/bawah, dan matriks dengan baris sebanding.
Sifat Determinan
Dalam perhitungan hanya metode Sarrus yang digunakan, karena metode ini lebih mudah dibandingkan dua metode lainnya.
Jika matriks A sembarang yang semua elemen dalam salah satu baris atau kolomnya adalah nol, maka determinan A = 0.
Contoh matriks 2×2
Baris
Kolom
Contoh matriks 3×3
Baris
Kolom
2. Jika matriks A sembarang adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen diagonal utama.
Contoh matriks 2×2
Segitiga Atas
Segitiga Bawah
Diagonal
Contoh matriks 3×3
Segitiga Atas
Segitiga Bawah
Diagonal
3. Jika matriks A’ adalah matriks yang diperoleh dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta k, maka determinan A’ = k x Det A. Contoh matriks 2×2
Matriks A
A’ (Baris)
A’ (Kolom)
Contoh matriks 3×3
Matriks B
B’ (Baris)
B’ (Kolom)
4. Jika matriks A’ dihasilkan dari matriks A setelah dua baris/kolomnya ditukarkan, maka determinan A’ = – det A.
Contoh matriks 2×2
Matriks A
Tukar Baris
Tukar Kolom
Contoh matriks 3×3
Matriks B
Tukar Baris
Tukar Kolom
5. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta kemudian dijumlahkan/dikurangkan terhadap baris/kolom yang lainnya, maka determinan A’ = determinan A.
Matriks A
Baris
Kolom
Contoh matriks 3×3
Matriks B
Baris
Kolom
6. Jika sebuah matriks mempunyai dua baris yang elemen-elemennya sebanding, maka determinannya adalah nol.
Dua Baris Sama
Baris Sebanding
Kolom Sebanding
Contoh matriks 3×3
Dua Baris Sama
Baris Sebanding
Kolom Sebanding
7. Suatu matriks nilai determinannya tidak akan berubah jika barisnya dijadikan kolom.
Dengan kata lain determinan matriks asal sama dengan determinan matriks hasil transpose.
Contoh matriks 2×2
Matriks A
Transpose A
Contoh matriks 3×3
Matriks B
Baris Sebanding
DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN
Matrik bujur sangkar A dikatakan
dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga
atas U sedemikian rupa sehingga :
A = LU
Akibatnya :
det(A) = det(L) det (U)
Det(A) = det(L) det(U)
Dalam menghitung dekomposisi matriks ada beberapa metode, diantaranya:
Metode crout, metode ini digunakan untuk mendekomposisi matriks yang menghasilkan elemen diagonal utama dari matriks segitiga atas U adalah satu.
Metode doollite, metode ini digunakan untuk mendekomposisi matriks yang menghasilkan elemen diagonla utama matriks segitiga bawah L adalah satu.
Metode Cholesky, metode ini digunakan untuk endekomposisi matriks diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matriks yang simetris.
Metode operasi elementer, metode ini digunakan untuk mendekomposisi matriks menjadi segitiga atas atau segitiga bawah
Namun, teknik-teknik/metode-metode yang disebutkan diatas tidak akan kita bahas semua, kita hanya akan membahas tentang metode crout dan metode doollite
METODE CROUT
Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga bawah hingga matriks segitiga atas:
METODE DOOLITTLE
Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga atas hingga matriks segitiga bawah:
Contoh 1
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
Contoh 2
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
Komentar
Posting Komentar